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Elementos básicos de la geometría

Para comenzar el estudio de la geometría, es necesario conocer ciertos conceptos, los más básicos.  Sin embargo, pasa algo muy curioso con ellos: no se pueden definir.

Afortunadamente, contamos con ideas innatas de estos conceptos, por eso se dice que son ideas intuitivas o primitivas.  Por ejemplo, ¿te has preguntado alguna vez qué es un punto?

El punto


Piensa en un punto... ¿imaginaste la marca que deja la punta de un lápiz en una hoja de papel?

Aunque tu imagen de punto es útil, técnicamente no es correcta: si se hiciera un acercamiento sobre dicha marca, observarías que a medida que te aproximas a ella cambia, pareciendo “más grande”, de esa forma se podría medir.  Sin embargo la característica esencial del punto es que no se puede medir, pues un punto es algo que no tiene partes.  Para identificar los puntos se usan letras mayúsculas, por ejemplo: el punto `Q.`

Pese a saber que los puntos no son marcas de lápiz en una hoja de papel, no tenemos otra forma de representarlos.

En el siguiente interactivo se representa un punto, llamado `A.`  A su lado se representa la marca `C,` como la que un lápiz deja en una hoja.

Haz zoom y arrastra los puntos `A` y `C.`  Verás como la marca de lápiz rojo `C` deja su marca y se ve más grande cuando te acercas.

Observa que al acercarte al punto `A` este no cambia de tamaño, pues esta marca es solo una representación.

La recta


Otro concepto tan importante como el de punto, y que tampoco es posible definir, es el de recta.  Puedes imaginar la recta como una sucesión de puntos que tiene las siguientes características:

  • Es continua: las rectas no tienen huecos.
  • Es infinita: no tiene principio ni fin.
  • Sus puntos están alineados en una misma dirección.
Para identificar las rectas se usan las letras minúsculas, por ejemplo: la recta `m.`  También, si se conocen dos puntos pertenecientes a la recta, digamos `A` y `B,` se le puede identificar escribiéndolos bajo una flecha de dos direcciones así: \(\overleftrightarrow{AB}.\)

En el siguiente interactivo se muestra la representación de una recta que contiene los puntos `A` y `B.`  Junto a la recta se representa la marca `C,` como la que deja la punta de un lápiz en una hoja de papel.

Arrastra los puntos `A` y `B` o la marca `C,` también puedes arrastrar la recta.  Haz zoom para acercarte más a estos objetos.

Observa que al acercarte a la recta su anchura no cambia, pues está compuesta de puntos, mientras la marca `C` sí lo hace.

El plano


Para que te hagas a una idea de lo que es un plano puedes imaginar una superficie similar a una hoja de papel con las siguientes características:
  • Es continua: los planos no tienen huecos.
  • Es infinita: no están limitados.
  • Es lisa: no tienen arrugas o curvaturas.
Para representar los planos es usual utilizar letras griegas minúsculas: `alpha` (alfa), `beta` (beta), `gamma` (gamma), etc.  En el siguiente interactivo puedes observar un plano.  Para poder apreciarlo mejor se muestra solo una parte de él (en púrpura), de otra forma ocuparía toda la pantalla, pues carece de límites.  Arrastra el punto `A` para rotarlo sobre sí mismo.

Al comparar el plano con una hoja de papel lisa debemos tener en cuenta que, a diferencia de la hoja, el plano no tiene grosor.

El espacio


En el interactivo anterior pudiste observar que al mover el plano este lo hace en un lugar específico, cambiando su posición en el mismo.

A este lugar se le conoce como espacio, y podemos decir de él que es conjunto de todos los puntos.  Contiene infinitos puntos, rectas y planos.  En términos de conjuntos, el espacio también hace el papel de conjunto universal.